IL FORMALISMO DELLE FUNZIONI GENERATRICI

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UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI TORINO

Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

Corso di Laurea in Fisica

STUDIO DELLE FUNZIONI GENERATRICI DELLE

DISTRIBUZIONI DISCRETE INFINITAMENTE DIVISIBILI

E LORO APPLICAZIONI ALLA FENOMENOLOGIA

DELLE INTERAZIONI FORTI

Tesi di Laurea di:

Massimo BRAMBILLA

Relatore: Prof. Alberto GIOVANNINI

Correlatore: Dr. Roberto UGOCCIONI

Anno Accademico 2001-2002

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Indice

Introduzione pag. 1

Capitolo 1: Variabili collettive della produzione multipla

1.1 Introduzione pag. 4

1.2 Le variabili collettive della produzione multipla pag. 4

1.3 Proprietà delle funzioni generatrici di probabilità pag. 12

1.4 Tabella riassuntiva delle variabili collettive pag. 14

Capitolo 2: Le distribuzioni discrete infinitamente divisibili

2.1 Introduzione pag. 15

2.2 Le Distribuzioni di Poisson Composte pag. 15

2.3 Proprietà dei cumulanti fattoriali e dei combinanti delle CPD pag. 20

2.4 Struttura gerarchica dei cumulanti fattoriali e funzione di scala dei vuoti pag. 23

2.5 Proprietà delle Distribuzioni di Poisson Composte pag. 25

2.6 Proprietà delle distribuzioni di molteplicità troncate pag. 27

Capitolo 3: La distribuzione Binomiale Negativa

3.1 Introduzione pag. 29

3.2 Proprietà della distribuzione NB pag. 31

3.3 Calcolo delle variabili collettive nella NB pag. 34

3.4 Interpretazione di k come parametro di aggregazione nella struttura a clan pag. 39

Capitolo 4: La funzione generatrice nel piano complesso

4.1 Introduzione pag. 46

4.2 Rilevanza dello studio degli zeri della funzione generatrice nel piano complesso pag. 48

4.3 Il teorema di Lee e Yang pag. 49

4.4 Punti critici di una serie di potenze. Connessione tra gli zeri di G(z) e di una sua somma parziale: il teorema di Hurwitz pag. 55

4.5 Teoremi sulle somme parziali di una serie di potenze pag. 59

4.6 Molteplicità degli zeri e la distribuzione Binomiale Negativa pag. 68

Capitolo 5: Gli zeri delle funzioni generatrici nella fenomenologia delle interazioni forti

5.1 Introduzione pag. 78

5.2 Comportamento di e k nella regione del TeV pag. 79

5.3 Il terzo scenario pag. 80

5.4 Osservazioni finali pag. 104

Bibliografia pag. 105

Introduzione

La prima osservazione di eventi con produzione di più particelle, risale agli anni '30 nei raggi cosmici: si trattava di sciami di particelle generati in urti di primari su atomi leggeri in atmosfera, e la caratteristica di tale fenomeno subito messa in evidenza fu la sua non linearità.

Negli anni '40 e '50 una serie di importanti lavori teorici dovuti a Fermi, Landau, Oppenheimer ed Heisenberg, tentarono di spiegare questo sorprendente fatto sperimentale.

Fu Heisenberg ad intuire che si era di fronte ad una manifestazione di una nuova forza sconosciuta (quella che oggi chiamiamo la "forza forte"), e che la sua base teorica andava cercata in una teoria di campo non-lineare: oggi riteniamo che questa teoria non-lineare delle interazioni forti ipotizzata da Heisenberg sia la Cromodinamica Quantistica, la QCD.

Ma mentre la QCD perturbativa trova una applicazione vincente nelle interazioni che avvengono a distanze molto "piccole" tra i sottocostituenti elementari (quarks e gluoni) degli adroni, caratterizzate da grandi impulsi trasferiti in tempi molto brevi (interazioni dure), esistono tuttora dei problemi per la comprensione dei fenomeni che avvengono nel regime non perturbativo della teoria, a "grandi" distanze dall’urto iniziale tra i costituenti, su intervalli temporali relativamente lunghi e con, in genere, piccoli impulsi trasferiti (interazioni soffici). In questo quadro assume particolare rilievo il fenomeno dell’adronizzazione.

Si tratta cioè di capire come i partoni iniziali, dopo aver esaurito tutta la loro virtualità, neutralizzino le loro cariche di colore e diventino gli adroni osservati sperimentalmente.

Un valido complemento della QCD è fornito dalla fenomenologia dello spettro di particelle prodotte nelle varie classi di reazioni, ed in particolare delle regolarità e proprietà che manifestano le rispettive distribuzioni in molteplicità e le correlazioni esistenti tra le particelle finali, sulle quali la QCD perturbativa ha in genere deboli predizioni.

Questa tesi accentua l’aspetto fenomenologico del problema e si propone di studiarne gli elementi essenziali per affrontare i problemi connessi alla dinamica della produzione multipla nelle varie classi di reazioni.

La tesi si articola in cinque capitoli: nel primo si studiano le variabili collettive (distribuzioni esclusive ed inclusive, funzioni di correlazione, distribuzioni in molteplicità, momenti fattoriali e cumulanti fattoriali) necessarie per affrontare l’argomento oggetto della tesi, usando il formalismo compatto delle funzioni generatrici e dei funzionali generatori.

Nel secondo capitolo, l’attenzione si concentra su una classe di funzioni di distribuzione particolarmente importante, le funzioni di distribuzione infinitamente divisibili (IDD); si dimostra come le distribuzioni discrete ad essa appartenenti coincidano con le funzioni della classe delle distribuzioni di Poisson Composte (CPD). Le CPD possono essere fisicamente interpretate come un processo di produzione in due passi successivi: nel primo si assiste, in accordo con una distribuzione di Poisson, alla produzione indipendente di oggetti intermedi, detti "clan generalizzati" (g-clan), nel secondo passo del processo i g-clan decadono dando origine alle particelle finali.

Grazie allo studio della connessione esistente tra le due classi sopracitate, si ricava un’utile disuguaglianza che costituisce una condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché una funzione di distribuzione appartenga alla classe delle CPD.

Con le variabili collettive (in forma integrale), infine, si ricava una serie di proprietà delle distribuzioni di Poisson Composte e dei teoremi che permettono di verificare l’appartenenza o meno a tale classe di una distribuzione generica di molteplicità.

Nel terzo capitolo viene studiata una distribuzione appartenente alla classe delle CPD, la distribuzione Binomiale Negativa (o di Pascal), di particolare rilievo nella fenomenologia delle interazioni forti. Si discutono le sue proprietà e si ricavano le espressioni esplicite delle variabili collettive ad essa relative. Viene analizzata, infine, l’interpretazione del parametro come parametro di aggregazione di particelle.

Nel quarto capitolo si affronta lo studio della funzione generatrice nel piano complesso. La motivazione di tale studio è la ricerca di segnali di una eventuale transizione di fase che può verificarsi nelle distribuzioni usate per descrivere classi di eventi nelle collisioni adroniche nella regione del TeV.

Negli anni '70 venne messo in evidenza, infatti, come la funzione generatrice delle distribuzioni di probabilità fosse formalmente analoga alla funzione di partizione grancanonica della meccanica statistica: questa asserzione ha suggerito che le proprietà della funzione generatrice nel piano complesso possano riflettere proprietà statistiche della produzione multipla.

Dato il numero limitato di particelle che possono essere prodotte nelle varie classi di collisioni, è risultato del tutto naturale studiare il comportamento dei polinomi derivanti dalle troncature dovute alla conservazione dell’energia o alla bassa statistica dell’esperimento: poiché la struttura di un polinomio risulta interamente descritta dalla distribuzione dei suoi zeri, l’attenzione è stata rivolta alla loro collocazione nel piano complesso.

Nel 1995 De Wolf ha mostrato, usando tecniche di Montecarlo in collisioni ad 1 TeV, che gli zeri della funzione generatrice troncata si dispongono, per una troncatura (massimo grado del polinomio) sufficientemente grande, su un anello circolare di raggio approssimativamente unitario, centrato nell’origine del piano complesso ed aperto in un piccolo settore bisecato dall’asse reale positivo: un tale comportamento è analogo, ma non uguale, a quanto avviene in meccanica statistica qualora il sistema preveda transizioni di fase. A queste conclusioni si giunge grazie ai lavori di C.N.Yang e T.D.Lee, i quali, studiando analiticamente la funzione di partizione grancanonica per valori complessi della fugacità, hanno trovato le condizioni richieste per osservare una transizione di fase dalla disposizione e dal movimento degli zeri della funzione di partizione al variare del volume del sistema.

Si discute, quindi, una serie di teoremi che permettono di spiegare alcune regolarità nella configurazione degli zeri della funzione generatrice nel piano complesso.

In particolare, si dimostra che la funzione generatrice troncata della distribuzione Binomiale Negativa ha zeri tutti distinti, e quindi ogni zero nel piano complesso è in corrispondenza uno a uno con una radice del polinomio, ovvero il numero delle radici coincide col massimo numero di particelle che può essere prodotto in un evento.

Nel quinto capitolo si studiano le variabili collettive nel caso di urti adrone-adrone nella regione del TeV, utilizzando, a titolo di esempio, uno dei tre scenari di produzione multipla proposti recentemente in letteratura; essi consistono nel descrivere le distribuzioni di molteplicità nel nuovo dominio di energie in termini di sovrapposizioni pesate di distribuzioni di molteplicità di eventi soft, cioè eventi senza minijets, e di eventi semihard (eventi con minijets), assumendo che ciascuna delle componenti sia una distribuzione di molteplicità Binomiale Negativa.

In questo contesto, si illustrano i grafici, nel piano complesso, delle configurazioni assunte dagli zeri delle funzioni generatrici (troncate) delle tre classi di eventi in esame, soft, semihard e totale; si discutono i loro diversi comportamenti all’aumentare dell’energia nel centro di massa. Di tale risultato si dà anche una rappresentazione tridimensionale sfruttando l’osservazione che gli zeri della funzione generatrice coincidono con quelli del suo modulo.

A conclusione del lavoro svolto, si è visto che non vi è spazio per una transizione di fase per una distribuzione NB o per loro sovrapposizioni pesate: una transizione di fase può avvenire solo se, in una sovrapposizione pesata di NB, si aggiunge un’ulteriore distribuzione, tale da permettere alla distribuzione generatrice totale di possedere uno zero sul semiasse reale positivo all’interno del raggio di convergenza più piccolo tra quello delle sue tre componenti.

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Introduzione		pag. 1

Capitolo 1: Variabili collettive della produzione multipla

1.1	Introduzione	pag. 4

1.2	Le variabili collettive della produzione multipla	pag. 4

1.3	Proprietà delle funzioni generatrici di probabilità	pag. 12

1.4	Tabella riassuntiva delle variabili collettive	pag. 14

Capitolo 2: Le distribuzioni discrete infinitamente divisibili

2.1	Introduzione	pag. 15

2.2	Le Distribuzioni di Poisson Composte	pag. 15

2.3	Proprietà dei cumulanti fattoriali e dei combinanti delle CPD	pag. 20

2.4	Struttura gerarchica dei cumulanti fattoriali e funzione di scala dei vuoti	pag. 23

2.5	Proprietà delle Distribuzioni di Poisson Composte	pag. 25

2.6	Proprietà delle distribuzioni di molteplicità troncate	pag. 27

Capitolo 3: La distribuzione Binomiale Negativa

3.1	Introduzione	pag. 29

3.2	Proprietà della distribuzione NB	pag. 31

3.3	Calcolo delle variabili collettive nella NB	pag. 34

3.4	Interpretazione di k come parametro di aggregazione nella struttura a clan	pag. 39

Capitolo 4: La funzione generatrice nel piano complesso

4.1	Introduzione	pag. 46

4.2	Rilevanza dello studio degli zeri della funzione generatrice nel piano complesso	pag. 48

4.3	Il teorema di Lee e Yang	pag. 49

4.4	Punti critici di una serie di potenze. Connessione tra gli zeri di G(z) e di una sua somma parziale: il teorema di Hurwitz	pag. 55

4.5	Teoremi sulle somme parziali di una serie di potenze	pag. 59

4.6	Molteplicità degli zeri e la distribuzione Binomiale Negativa	pag. 68

Capitolo 5: Gli zeri delle funzioni generatrici nella fenomenologia delle interazioni forti

5.1	Introduzione	pag. 78

5.2	Comportamento di e k nella regione del TeV	pag. 79

5.3	Il terzo scenario	pag. 80

5.4	Osservazioni finali	pag. 104

Bibliografia		pag. 105

Introduzione

La prima osservazione di eventi con produzione di più particelle, risale agli anni '30 nei raggi cosmici: si trattava di sciami di particelle generati in urti di primari su atomi leggeri in atmosfera, e la caratteristica di tale fenomeno subito messa in evidenza fu la sua non linearità. Negli anni '40 e '50 una serie di importanti lavori teorici dovuti a Fermi, Landau, Oppenheimer ed Heisenberg, tentarono di spiegare questo sorprendente fatto sperimentale. Fu Heisenberg ad intuire che si era di fronte ad una manifestazione di una nuova forza sconosciuta (quella che oggi chiamiamo la "forza forte"), e che la sua base teorica andava cercata in una teoria di campo non-lineare: oggi riteniamo che questa teoria non-lineare delle interazioni forti ipotizzata da Heisenberg sia la Cromodinamica Quantistica, la QCD. Ma mentre la QCD perturbativa trova una applicazione vincente nelle interazioni che avvengono a distanze molto "piccole" tra i sottocostituenti elementari (quarks e gluoni) degli adroni, caratterizzate da grandi impulsi trasferiti in tempi molto brevi (interazioni dure), esistono tuttora dei problemi per la comprensione dei fenomeni che avvengono nel regime non perturbativo della teoria, a "grandi" distanze dall’urto iniziale tra i costituenti, su intervalli temporali relativamente lunghi e con, in genere, piccoli impulsi trasferiti (interazioni soffici). In questo quadro assume particolare rilievo il fenomeno dell’adronizzazione. Si tratta cioè di capire come i partoni iniziali, dopo aver esaurito tutta la loro virtualità, neutralizzino le loro cariche di colore e diventino gli adroni osservati sperimentalmente. Un valido complemento della QCD è fornito dalla fenomenologia dello spettro di particelle prodotte nelle varie classi di reazioni, ed in particolare delle regolarità e proprietà che manifestano le rispettive distribuzioni in molteplicità e le correlazioni esistenti tra le particelle finali, sulle quali la QCD perturbativa ha in genere deboli predizioni. Questa tesi accentua l’aspetto fenomenologico del problema e si propone di studiarne gli elementi essenziali per affrontare i problemi connessi alla dinamica della produzione multipla nelle varie classi di reazioni. La tesi si articola in cinque capitoli: nel primo si studiano le variabili collettive (distribuzioni esclusive ed inclusive, funzioni di correlazione, distribuzioni in molteplicità, momenti fattoriali e cumulanti fattoriali) necessarie per affrontare l’argomento oggetto della tesi, usando il formalismo compatto delle funzioni generatrici e dei funzionali generatori. Nel secondo capitolo, l’attenzione si concentra su una classe di funzioni di distribuzione particolarmente importante, le funzioni di distribuzione infinitamente divisibili (IDD); si dimostra come le distribuzioni discrete ad essa appartenenti coincidano con le funzioni della classe delle distribuzioni di Poisson Composte (CPD). Le CPD possono essere fisicamente interpretate come un processo di produzione in due passi successivi: nel primo si assiste, in accordo con una distribuzione di Poisson, alla produzione indipendente di oggetti intermedi, detti "clan generalizzati" (g-clan), nel secondo passo del processo i g-clan decadono dando origine alle particelle finali. Grazie allo studio della connessione esistente tra le due classi sopracitate, si ricava un’utile disuguaglianza che costituisce una condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché una funzione di distribuzione appartenga alla classe delle CPD. Con le variabili collettive (in forma integrale), infine, si ricava una serie di proprietà delle distribuzioni di Poisson Composte e dei teoremi che permettono di verificare l’appartenenza o meno a tale classe di una distribuzione generica di molteplicità. Nel terzo capitolo viene studiata una distribuzione appartenente alla classe delle CPD, la distribuzione Binomiale Negativa (o di Pascal), di particolare rilievo nella fenomenologia delle interazioni forti. Si discutono le sue proprietà e si ricavano le espressioni esplicite delle variabili collettive ad essa relative. Viene analizzata, infine, l’interpretazione del parametro come parametro di aggregazione di particelle. Nel quarto capitolo si affronta lo studio della funzione generatrice nel piano complesso. La motivazione di tale studio è la ricerca di segnali di una eventuale transizione di fase che può verificarsi nelle distribuzioni usate per descrivere classi di eventi nelle collisioni adroniche nella regione del TeV. Negli anni '70 venne messo in evidenza, infatti, come la funzione generatrice delle distribuzioni di probabilità fosse formalmente analoga alla funzione di partizione grancanonica della meccanica statistica: questa asserzione ha suggerito che le proprietà della funzione generatrice nel piano complesso possano riflettere proprietà statistiche della produzione multipla. Dato il numero limitato di particelle che possono essere prodotte nelle varie classi di collisioni, è risultato del tutto naturale studiare il comportamento dei polinomi derivanti dalle troncature dovute alla conservazione dell’energia o alla bassa statistica dell’esperimento: poiché la struttura di un polinomio risulta interamente descritta dalla distribuzione dei suoi zeri, l’attenzione è stata rivolta alla loro collocazione nel piano complesso. Nel 1995 De Wolf ha mostrato, usando tecniche di Montecarlo in collisioni ad 1 TeV, che gli zeri della funzione generatrice troncata si dispongono, per una troncatura (massimo grado del polinomio) sufficientemente grande, su un anello circolare di raggio approssimativamente unitario, centrato nell’origine del piano complesso ed aperto in un piccolo settore bisecato dall’asse reale positivo: un tale comportamento è analogo, ma non uguale, a quanto avviene in meccanica statistica qualora il sistema preveda transizioni di fase. A queste conclusioni si giunge grazie ai lavori di C.N.Yang e T.D.Lee, i quali, studiando analiticamente la funzione di partizione grancanonica per valori complessi della fugacità, hanno trovato le condizioni richieste per osservare una transizione di fase dalla disposizione e dal movimento degli zeri della funzione di partizione al variare del volume del sistema. Si discute, quindi, una serie di teoremi che permettono di spiegare alcune regolarità nella configurazione degli zeri della funzione generatrice nel piano complesso. In particolare, si dimostra che la funzione generatrice troncata della distribuzione Binomiale Negativa ha zeri tutti distinti, e quindi ogni zero nel piano complesso è in corrispondenza uno a uno con una radice del polinomio, ovvero il numero delle radici coincide col massimo numero di particelle che può essere prodotto in un evento. Nel quinto capitolo si studiano le variabili collettive nel caso di urti adrone-adrone nella regione del TeV, utilizzando, a titolo di esempio, uno dei tre scenari di produzione multipla proposti recentemente in letteratura; essi consistono nel descrivere le distribuzioni di molteplicità nel nuovo dominio di energie in termini di sovrapposizioni pesate di distribuzioni di molteplicità di eventi soft, cioè eventi senza minijets, e di eventi semihard (eventi con minijets), assumendo che ciascuna delle componenti sia una distribuzione di molteplicità Binomiale Negativa. In questo contesto, si illustrano i grafici, nel piano complesso, delle configurazioni assunte dagli zeri delle funzioni generatrici (troncate) delle tre classi di eventi in esame, soft, semihard e totale; si discutono i loro diversi comportamenti all’aumentare dell’energia nel centro di massa. Di tale risultato si dà anche una rappresentazione tridimensionale sfruttando l’osservazione che gli zeri della funzione generatrice coincidono con quelli del suo modulo. A conclusione del lavoro svolto, si è visto che non vi è spazio per una transizione di fase per una distribuzione NB o per loro sovrapposizioni pesate: una transizione di fase può avvenire solo se, in una sovrapposizione pesata di NB, si aggiunge un’ulteriore distribuzione, tale da permettere alla distribuzione generatrice totale di possedere uno zero sul semiasse reale positivo all’interno del raggio di convergenza più piccolo tra quello delle sue tre componenti.